В 30-е гг. Петровским были проведены глубокие исследования по топологии действительных алгебраических кривых на проективной плоскости (1933, 1938). Из полученных им результатов следовало доказательство одной из гипотез относительно кривой шестого порядка, высказанной Д. Гильбертом в тексте его 16-й проблемы.
Наконец, в 1934 г. была опубликована работа Петровского о проблеме блуждания. В ней была установлена связь между вероятностями выхода Марковского процесса из области и решением задачи Дирихле для некоторого эллиптического уравнения. Важным для теории вероятностей оказался не только сам результат, но и метод, которым он был получен, – метод верхних и нижних сумм. Другим результатом, важным для теории вероятностей, оказалась его работа 1935 г. о первой краевой задаче для уравнения теплопроводности. Из этого результата, сформулированного на вероятностном языке, получаются сильные утверждения о характере роста абсолютных отклонений сумм независимых одинаково распределённых случайных величин от их математических ожиданий, являющиеся серьёзным усилением закона повторного логарифма А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова (см.: Хинчин А.Я. Асимптотические законы теории вероятностей. М.: ОНТИ, 1936).
В работах 30-х гг. И.Г. Петровский построил классификацию систем дифференциальных уравнений с частными производными, выделив три класса систем, вошедших в математику под названием эллиптических, гиперболических и параболических, по Петровскому, систем. Для этих систем выполняются основные свойства соответствующих уравнений второго порядка. Он исследовал широкие классы таких систем. Занимаясь гиперболическими системами (1937), он изучил вопрос о корректности для них задачи Коши. В работе 1938 г. он исследовал вопрос о том, для какого типа систем задача Коши оказывается корректной. Так появилось знаменитое «условие А» Петровского. В работах 1937 г. им было дано наиболее полное решение 19-й проблемы Гильберта для эллиптических систем: было дано описание класса систем дифференциальных уравнений, все достаточно гладкие решения которых аналитичны. Выделенный им класс систем дифференциальных уравнений, обладающих этим свойством, и получил наименование эллиптических, по Петровскому.
Для его работ 1943–1945 гг. по качественной теории гиперболических уравнений характерен высокий уровень идей и средств теории дифференциальных уравнений и комплексной алгебраической геометрии. В них вводится имеющее физический смысл понятие лакуны и устанавливается необходимое и достаточное условие существования лакун для гиперболических уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами. Им был предложен метод, сводящий задачу выяснения наличия лакун к изучению гиперплоских сечений комплексных алгебраических многообразий, а также установлены достаточные геометрические критерии существования лакун.
