Важнейшие достижения в области математики и ее приложений

Нет никакой возможности, хотя бы и кратко, перечислить все, в той или иной мере крупные научные результаты, полученные членами РАН, состоящими в настоящее время в ОМН. По этой причине мы попытаемся очень сжато, не вдаваясь в специфические математические подробности, рассказать о российских научных математических школах и полученных ими результаты за послевоенный период.

В настоящее время в российской математике существует много научных школ, возглавляемых выдающимися учеными. Эти школы опираются на традиции, созданные великими учеными прошлого, используют весь мировой арсенал математических знаний, решают труднейшие и актуальные задачи современной математики.

Число активно работающих математиков многократно возросло, и мы вынуждены в дальнейшем ограничиться перечислением, в основном, имен членов академии. При этом в ряде случаев будут упомянуты ученые, которые не входили в Отделение математики или не входят в Отделение математических наук. Необходимо также сказать, что ряд упомянутых далее ученых проводят значительную часть времени за рубежом, работая в передовых мировых научных центрах. Однако, они не порывают связи со своими отечественными институтами и продолжают оказывать большое влияние на развитие российской математики.

А) Теория чисел, алгебра и математическая логика.

Традиционными для России являются исследования в теории чисел. Здесь наиболее крупные результаты в области аналитической теории чисел были получены И.М.Виноградовым. Созданный им метод тригонометрических сумм стал и продолжает оставаться мощнейшим инструментом для решения классических старых задач теории чисел. Так, были решены такие неприступные в течение многих лет нечетная проблема Гольдбаха и проблема Варинга. Его учениками и последователями был усовершенствован этот метод, что позволило значительно продвинуться в исследовании ряда фундаментальных проблем. Значительных успехов добились А.Я. Хинчин, А.О. Гельфонд, Ю.В. Нестеренко (доказательство трансцендентности широкого класса чисел), Л.Г. Шнирельман (плотностной подход к решению ряда классических проблем теории чисел), Л.А. Люстерник, Ю.В. Линник, Н.В. Кузнецов.

В области алгебры значительные результаты были получены в ряде школ: в Москве (А.Г. Курош, Л.С. Понтрягин, А.И. Кострикин), в Ленинграде (Д.К. Фаддеев), в Казани (Н.Г. Чеботарев), в г. Новосибирске (А.И. Мальцев, М.И. Каргаполов, А.И. Ширшов), в Белорусии (В.П. Платонов) и др.

П.С. Новиков получил значительные результаты в области неклассических логик, доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы тождества слов в группах. В школе П.С. Новикова активно развивалось направление, связанное с использованием методов логики в классических алгебраических структурах. Позднее П.С. Новиков вместе со своим учеником С.И. Адяном решили знаменитую проблему Бернсайда о периодических группах.

Другое направление в области математической логики и теории алгоритмов развивалось в школе А.И. Мальцева (г. Новосибирск), где наибольшее внимание уделялось вопросам применения логических методов к алгебре и теории моделей. На этом пути была выяснена алгоритмическая природа ряда классических аксиоматических теорий, получены важные результаты в теории групп и полей, создана теории нумераций. Сейчас эта школа возглавляется Ю.Л. Ершовым; здесь получено много важных результатов по теории алгоритмов, теории моделей, булевым алгебрам, локальным полям (С.С. Гончаров и др.).

Оригинальное направление математической логики, связанное с конструктивными принципами, развивалось в г. Ленинграде (А.А. Марков (мл.), Н.А. Шанин и др.) Здесь Ю.В. Матиясевичем была доказана алгоритмическая неразрешимость 10-ой проблемы Гильберта о диофантовых уравнениях.

Глубокие результаты в области алгебры, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел были получены в школах Д.К. Фаддеева и И.Р. Шафаревича. Здесь следует особо выделить работы по исследованию полей алгебраических чисел, которые привели к решению ряда давно стоявших проблем и послуживших одним из оснований решения в 1997 г. английским математиком А. Уайлзом знаменитой проблемы Ферма. Эти исследования были тесно связаны с работами И.Р. Шафаревича и созданной им школы в области алгебраической геометрии, достижения которой получили широкое мировое признание (Ю.И. Манин, А.Н. Тюрин, А.Н. Паршин, В.А. Колывагин и др.), широко использовавшими методы алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии. Отметим здесь решение А.И. Кострикиным ослабленной проблемы Бернсайда.

Б) Геометрия и топология.

П.С. Александров и П.С. Урынсон заложили основы отечественной топологической школы, в которой активно работали и получили крупные результаты в области общей топологии Л.С. Понтрягин, А.Н. Тихонов и др. За последующие годы были решены многие известные задачи в этой области, особенно в теории размерности.

Л.С. Понтрягин своими работами заложил основы исследований в области алгебраической топологии и топологической алгебры в нашей стране. Им, а также А.И. Мальцевым и В.М. Глушковым были получены выдающиеся результаты в области групп и алгебр Ли.

Эти исследования получили новый импульс в конце 50-х - начале 60-х годов, когда молодым в то время математиком С.П. Новиковым были опубликованы работы по дифференцируемым многообразиям, сразу получившие мировое признание. За эти работы С.П. Новикову была в 1970 г. присуждена золотая медаль Филдса, являющаяся высшей международной наградой в области математики. Созданная С.П. Новиковым крупная научная школа в области алгебраической топологии и дифференциальной геометрии является одной из ведущих в мире. Характерной ее чертой является тесная связь проводимых исследований в этих областях математики и задачами математической физики, причем задачи физики не только инициируют новые постановки математических задач, но часто подсказывают и методы их решения. С другой стороны, многие основные понятия физики формулируются в чисто математических терминах и соответствующие физические задачи решаются математическими методами. В последнее время В.А. Васильевым решен ряд интересных топологических задач, которые находят эффективные применения при изучении квантовой теории твердого тела в магнитных полях.

Продолжались интенсивные исследования в области геометрии и топологии. В МГУ продолжала работать школа дифференциальной и тензорной геометрии (В.Ф. Каган, С.П. Фиников, С.С. Бюшгенс, Н.В. Ефимов, А.Т. Фоменко). В последнее время А.Т. Фоменко вместе со своим учеником С.В. Матвеевым (г. Челябинск) были применены алгоритмические и компьютерные методы в геометрии и топологии.

В школе А.Д. Александрова и А.В. Погорелова была создана теория выпуклых многогранников, разработаны новые методы изучения поверхностей, с помощью которых были получены важные для практики результаты в нелинейной теории оболочек. В работах этой научной школы, а также выросшей из нее научной школы Ю.Г. Решетняка (г. Новосибирск), исследования в области геометрии тесно связаны с изучением проблем теории дифференциальных уравнений.

В) Математический анализ.

В области теории функций действительного переменного, основного направления, исследовавшегося в школе Н.Н. Лузина, активно работали А.Н. Колмогоров, Д.Е. Меньшов и др. В настоящее время в школе, возглавляемой С.М. Никольским наряду с работами классического направления – изучение приближений функций, сходимости рядов, теорем вложения, все большую значимость приобретают связи с вычислительной математикой (П.Л. Ульянов, Л.Д. Кудрявцев, О.В. Бесов, В.Я. Козлов, Б.С. Кашин). В этом круге проблем удается разрабатывать новые вычислительные методы, находящие широкие применения при решении актуальных задач.

Исследования в теории функций комплексного переменного получили мощное развитие в научных школах М.В. Келдыша, М.А. Лаврентьева, В.И. Смирнова, И.И. Привалова. Их классические работы по теории аппроксимаций, теории потенциала, теории квазиконформных отображений были продолжены в 50-х годах в работах С.Н. Мергеляна, К.И. Бабенко и др. В настоящее время эти исследования продолжаются в научной школе А.А. Гончара и А.Г. Витушкина. Работы ученых этой научной школы характерны применением очень широкого спектра методов из других областей математики – теории римановых поверхностей, уравнений математической физики, теории чисел, вариационных методов. В последнее время методы, развитые а теории аппроксимаций Паде, находят неожиданное применение в разработке принципиально новых вычислительных методов и вычислительных алгоритмов. Интересные результаты в других направлениях теории функций комплексного переменного были получены А.Ф. Леонтьевым и В.В. Напалковым (г. Уфа).

Л.А. Люстерник, Л.Г. Шнирельман и А.Н. Колмогоров заложили основы изучения проблем функционального анализа. В созданной И.М. Гельфандом школе функционального анализа был получен ряд блестящих результатов и созданы методы, оказавшие большое влияние на развитие смежных областей математики (алгебра, топологическая алгебра, геометрия, дифференциальные уравнения и динамические системы, теория вероятностей) и математическую физику. В.А. Марченко (г. Харьков) продолжает интенсивно работать в этом направлении.

Из работ по функциональному анализу выросло замечательное направление – линейное программирование и математическая экономика. Наибольших результатов в этом направлении добился Л.В. Канторович со своими учениками (В.Л. Макаров и др.). За работы в этой области в 1975 г. Л.В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике.

Г) Дифференциальные уравнения.

Группа исследователей (В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, И.Г. Петровский и др.) внесла основополагающий вклад в развитие классического направления – теорию обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. В г. Горьком активно работала школа А.А. Андронова по качественной теории дифференциальных уравнений и по прикладным вопросам математики. Новые применения результатов теории дифференциальных уравнений к вычислительной математике были найдены А.А. Дородницыным. Возглавляемой Е.Ф. Мищенко научной школе принадлежат глубокие результаты в области сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. Крупнейшим достижением в области дифференциальных уравнений явилось отрицательное решение А.А. Болибрухом известной 21 проблемы Гильберта, относящейся к стандартным биркгофовым формам систем линейных дифференциальных уравнений.

Начиная с основополагающих работ И.Г. Петровского и С.Л. Соболева, А.Н. Крылова и Н.Е. Кочина, достижения российских ученых определяли мировой уровень развития теории дифференциальных уравнений в частных производных. С.Л. Соболевым создана теория обобщенных функций и доказаны теоремы вложения для функциональных пространств, И.Г. Петровским была разработана общепринятая в настоящее время классификация уравнений в частных производных. В настоящее время здесь активно работают научные школы О.А. Ладыженской, О.А. Олейник и В.П. Маслова. Важные задачи в теории дифференциальных и интегральных уравнений, уравнений математической физики решены Н.Н. Боголюбовым (мл.), А.М. Ильиным, В.А. Ильиным, С.И. Похожаевым, М.И. Иманалиевым, П.И. Плотниковым. Теория решений некорректно поставленных задач математической физики нашла эффективные применения в технике (А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов, В.Г. Романов).

В теории динамических систем, заложенной А.Н. Колмогоровым и Н.Н. Боголюбовым, в настоящее время активно работают научные школы Д.В. Аносова, В.И. Арнольда и Я.Г. Синая. Развитый А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольдом метод ускоренной сходимости нашел важные применения в решении ряда задач механики, астрономии, техники.

Признанными мировыми лидерами в области теории оптимального управления явились научные школы, основанные Л.С. Понтрягиным и Н.Н. Красовским. Сформулированный Л.С. Понтрягиным и доказанный им "принцип максимума Понтрягина" стал краеугольным камнем всего развития оптимального управления в последнее десятилетие. Работы школы Л.С. Понтрягина в теории оптимального управления были продолжены Р.В. Гамкрелидзе.

Н.Н. Красовским, Ю.С. Осиповым и их учениками (А.И. Субботин, В.И. Бердышев, В.В. Васин и др.) были поставлены новые проблемы и созданы методы управления при неполной информации об объектах. Здесь были найдены новые подходы к решению проблем теории дифференциальных игр. Современный уровень мировой науки в этой области определяется достижениями школы Н.Н. Красовского и Ю.С. Осипова.

Д) Математическая физика.

Современной математической физике принадлежит решающая роль в развитии математики. Конкретные прикладные физические задачи приводят к новым постановкам математических задач и, наоборот, развитые в этих областях математики мощные методы позволили получить глубокие продвижения в физике.

Революционизирующее влияние на развитие математической и теоретической физики во всем мире оказали работы Н.Н. Боголюбова. Применение им новых математических методов – теории возмущений и асимптотических разложений, функционального анализа, комплексного анализа, динамических систем и уравнений в частных производных – позволило не только решить давно стоявшие задачи, но и заложить новые методологические основы дальнейшего развития математической и теоретической физики. На основе этого он получил выдающиеся результаты в статистической физике, разработал новые принципы квантовой теории поля, микроскопической теории сверхтекучести и сверхпроводимости. Можно смело утверждать, что развитие этой науки во второй половине XX века проходит под влиянием этих идей.

Научные школы, возглавляемые В.С. Владимировым, А.Н. Тавхелидзе, В.Н.Матвеевым, Д.В. Ширковым и Я.Г. Синаем продолжают исследования Н.Н. Боголюбова, развивают его методы. Были получены глубокие физические результаты (автомодельная асимптотика для электромагнитных форм-факторов нуклонов, введение цветности и "очарования" кварков и т.д.), а также найдены применения методов, развитых в квантовой теории поля, для исследования важнейших задач для гиперболических уравнений и для общих систем в свертках.

Из научной школы В.А. Фока в 60-х годах в Ленинграде выросла научная школа Л.Д. Фаддеева в области математической физики (С.П. Меркурьев, А.А. Славнов и др.), уже первые достижения которой (решение квантово-механической задачи трех частиц, исследования в области обратных задач) нашли широкое мировое признание. Введенное в этой школе понятие калибровочного поля, имеющее четкую геометрическую интерпретацию, как связность в векторном расслоении, играет фундаментальную роль в квантовой теории элементарных частиц и твердого тела. Новейшие математические методы алгебры, геометрии, анализа стали источником крупных достижений в теории струн, основе современной квантовой теории гравитации. Теория солитонов, имеющая приложение в самых разнообразных областях физики и современных технологий (теория плазмы, распространение сигналов в оптоволоконных линиях связи, переходные эффекты в полупроводниках и т.д.) явилась подлинным триумфом применения математических методов. Здесь работы российских математиков и физиков оказали решающее влияние на развитие этой области, в которой в настоящее время активно работают научные школы, возглавляемые Л.Д. Фаддеевым, С.П. Новиковым, В.Е. Захаровым, В.П. Масловым.

Е) Теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей и математическая статистика, к числу основоположников современного развития которых можно отнести С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова и Ю.В. Линника, развивается в России в настоящее время, в основном, в научных школах, возглавляемых Ю.В. Прохоровым (г. Москва), А.А. Боровковым (г. Новосибирск) и И.А. Ибрагимовым (г. Санкт-Петербург). Наряду с классической тематикой (центральная предельная теорема, асимптотические методы) все больший интерес вызывают исследования в теории случайных процессов, связанных с задачами управления, теории массового обслуживания, аналитической статистики и др. В последние годы значительное развитие получила актуарно финансовая математика (А.Н. Ширяев), непосредственно связанная с проблемами новых финансовых отношений, складывающихся в нашей стране. Важные результаты в теории кодирования и других направлениях теории вероятностей и математической статистики получены Б.А. Севастьяновым, В.Я. Козловым и Г.А. Михайловым.

Ж) Прикладная математика.

Уже в 20-е- 30-е годы были выполнены выдающиеся работы в области вычислительной математики, создания новых численных методов. Здесь в первую очередь следует отметить научную школу, основанную М.В. Келдышем и А.Н. Тихоновым, крупнейшими представителями которой в настоящее время являются О.М. Белоцерковский, А.А. Самарский, В.В. Русанов.

И.М. Гельфанд явился основателем одной из школ, в которой разработаны новые вычислительные методы, нашедшие широкое применение при решении важных народно-хозяйственных задач и при создании новой техники. Важные применения теории дифференциальных уравнений в вычислительной математике были найдены в школе А.Н. Тихонова. Был проведен цикл исследований по созданию однородных разностных схем решения обыкновенных дифференциальных уравнений (А.Н. Тихонов, А.А. Самарский). В настоящее время вышеназванные работы привели А.А. Самарского, О.М. Белоцерковского и их учеников (Н.Н. Калиткин, Д.П. Костомаров, В.П. Коробейников, А.С. Холодов, Б.Н. Четверушкин, и др.) к глубоким результатам по математическому моделированию различных процессов, встречающихся в многочисленных практических задачах. Переход к автоматизированному системному проектированию позволил эффективно решать важнейшие прикладные проблемы (О.М. Белоцерковский, В.П. Иванников, П.С. Краснощеков, А.В. Забродин).

Вычислительные машины высокой производительности были созданы отечественными конструкторами С.А. Лебедевым, В.А. Мельниковым и др., А.А. Дородницыным и его учениками (Ю.Г. Евтушенко, и др.) была организована работа по использованию вычислительных машин в науке и технике.

Важные результаты были получены в создании мощных информационных и телекоммуникационных систем (Г.И. Савин, В.А. Садовничий, А.Б. Жижченко и др).

Другое направление по использованию вычислительной математики в различных направлениях науки и техники интенсивно развивалось школой под руководством Г.И. Марчука. Так, были предложены численные методы расчета ядерных реакторов, прогноза погоды и атмосферных процессов (Г.И. Марчук, В.П. Дымников, А.С. Саркисян), новые возможности использования вычислительной математики в геофизике (А.С. Алексеев), разработаны математические модели в иммунологии (Г.И. Марчук), развита теория распараллеливания алгоритмов (В.В. Воеводин). Для этого было необходимо создать принципиально новые методы самой вычислительной математики и численного анализа (Н.Н. Яненко, Н.С. Бахвалов, С.К. Годунов, Г.А. Михайлов, А.Н. Коновалов и др.).

Научная школа А.А. Ляпунова интенсивно разрабатывала математические вопросы кибернетики (Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский, О.Б. Лупанов) и вопросы теоретического программирования (А.А. Ляпунов, А.П. Ершов). Отметим в этом направлении построенную В.М. Глушковым теорию цифровых автоматов, которая была эффективно использована при решении различных прикладных задач. Важное значение при этом имело решение актуальных проблем дискретной математики и информатики (А.А. Разборов, И.И. Еремин, А.А. Петров, Л.Н. Королев, С.П. Курдюмов, В.Л. Матросов, Е.И. Моисеев, Ю.Н. Павловский, Ю.П. Попов, К.В. Рудаков).

На заре XX века и в дальнейшем в России активно работали научные школы по теоретической механике и прикладной математике (Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин).

Бурный расцвет наблюдался в области математических методов в механике, когда были развернуты исследования в школах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, Л.И. Седова и А.Ю. Ишлинского. Достойное продолжение эти работы нашли в трудах Н.Н. Яненко, П.Я. Кочиной, Л.В. Овсянникова, Г.Г. Черного, В.М. Титова, В.И. Арнольда, В.П. Коробейников, А.Г. Куликовского, И.И. Воровича, В.В. Козлова, В.П. Мясникова и др.)

Следует особо отметить созданные Н.Н. Боголюбовым и Н.М. Крыловым эффективные асимптотические методы нелинейной механики. Эти исследования были в дальнейшем продолжены в работах Ю.А. Митропольского, которые нашли самое широкое применение в физике, механике и технике, в частности, при расчете ускорителей элементарных частиц.



 

 

©РАН 2017