Время его работы в Сейсмологическом институте отмечено замечательными достижениями, ряд из которых был получен совместно с его учителем В.И. Смирновым. Эти результаты, касающиеся функционально-инвариантных решений волнового уравнения, позволили получить в замкнутой форме решение общей задачи колебания слоистых сред и решить задачу дифракции установившихся колебаний, а также построить теорию поверхностных волн Рэлея.
В 1932 г. Соболев начинает работать в Физико-математическом институте им. В.А. Стеклова, а в 1933 г. за выдающиеся математические результаты избирается членом-корреспондентом АН СССР. В 1934 г. Математический институт им. В.А. Стеклова был переведён в Москву. Вместе с ним в столицу переехал и Соболев, который возглавил отдел дифференциальных и функциональных уравнений и математической физики. Начался новый этап в его творчестве.
В начале 30-х гг. одновременно с прикладными задачами динамической теории упругости С.Л. Соболев исследовал задачу Коши для гиперболических уравнений. Эти исследования, а также работы о разрывных решениях уравнений теории упругости привели его к понятию обобщённого решения уравнения с частными производными – понятия, сыгравшего в ХХ в. в теории таких уравнений фундаментальную роль.
В 1934 г. на Втором всесоюзном математическом съезде в Ленинграде он выступил с тремя докладами о динамической теории упругости и задаче Коши для гиперболических уравнений. Рассмотрение Соболевым решений в пространствах функционалов дало начало теории обобщённых функций. Введя понятие обобщённой производной, он ввёл в математику пространства функций, получивших впоследствии наименование пространств Соболева, обобщённые производные которых интегрируемы в некоторой степени. Теория обобщённых функций дала мощный толчок развитию теории уравнений с частными производными, за несколько десятилетий изменив облик многих её разделов. Особенно бурное её развитие (в значительной мере связанное с творчеством Л. Шварца) пришлось на 50–60-е гг. Созданные с её помощью новые методы и теории позволили решить ряд давно стоявших проблем, представить в законченной форме некоторые ранее полученные результаты, наконец, сформулировать и решить многие новые задачи.
Вслед за динамическими задачами теории упругости Соболев перешёл к изучению краевых задач для эллиптических уравнений высших порядков. Он по-новому поставил задачу Дирихле для полигармонического уравнения в области, граница которой содержит многообразия различных размерностей. Доказывая существование и единственность решения этой задачи, он установил неравенства между нормами введенных им функциональных пространств. Эти неравенства стали важными утверждениями теории вложения функциональных пространств – новой области анализа, открытой Соболевым и играющей важную роль в исследовании различных задач математической физики. Сами функциональные пространства функций, обладающих l-ми производными с суммируемой
p-ой степенью, получившие наименование пространств Соболева, получили широкие применения при исследовании задач теории дифференциальных уравнений с частными производными.
